3D数学基础 第一章：笛卡尔坐标系

名词解释

名称	解释
笛卡尔坐标系	使用计算机以数学方式精确测量在三维空间中的位置，距离和角度
二维笛卡尔坐标系	* 正常二维平面坐标系（初中数学）* 而所有的二维坐标系进行任意旋转都不会改变图像的形状
三维笛卡尔坐标系	* 自旋性 左手坐标系 & 右手坐标系* 三维坐标系中，其中一个轴固定进行旋转，如果两个坐标系的自旋性不同，则不能使其旋转重叠* 围绕一个轴将另外两个轴翻转

左/右手坐标系的相互转换

• 数学方法

  • 坐标轴转换：首先，将左手坐标系的X轴与右手坐标系的X轴对齐。这可以通过将左手坐标系的X轴与右手坐标系的X轴翻转（即乘以-1）来实现。
  • 方向转换：其次，需要将左手坐标系的Z轴与右手坐标系的Z轴反向。这可以通过将左手坐标系的Z轴乘以-1来实现。
  • 坐标点转换：对于每个坐标点，将其X坐标乘以-1，然后将Z坐标乘以-1。

• 线性代数方法
  左手坐标系转右手坐标系需要一个转换矩阵Z：

  [x']   [ 1  0  0 ]   [x]
  [y'] = [ 0  1  0 ] * [y]
  [z']   [ 0  0 -1 ]   [z]

  • 对于向量T(左),将其从左手坐标系转换到右手坐标系：

  

  • 对于旋转矩阵R(左),将其转换到右手坐标系：

  

  2、右手坐标系转换到左手坐标系：

  • 对于向量T(右),将其从右手坐标系转换到左手坐标系：

  

  • 对于旋转矩阵R(右),将其转换到左手坐标系：

  

在3D图形中，坐标系有两种主要的约定：右手坐标系和左手坐标系。这两个坐标系的区别在于他们的方向。右手坐标系通常定义为：当你的右手的拇指指向X轴，食指指向Y轴时，中指就会自然而然地指向Z轴。左手坐标系的定义相反。

要将右手坐标系转换为左手坐标系，你可以通过以下步骤来完成：

1. 反射 ：选择一个轴（最常见的选择是Z轴），并将所有的坐标点相对于这个轴进行反射。如果选择Z轴，那么新的坐标(x’, y’, z’)就等于原坐标的(-x, -y, z)。

或者

2. 旋转 ：你也可以通过旋转来实现转换。例如，你可以围绕Z轴旋转180度，旋转矩阵为：

[-1, 0, 0]
[ 0,-1, 0]
[ 0, 0, 1]