3D数学基础 第二章：向量/矢量

向量是数学和物理学等领域中常见的概念，它是由大小（或称为模或长度）和方向组成的量。在二维空间中，向量通常表示为具有两个分量（x 和 y）的有序对 (x, y)，在三维空间中则通常表示为具有三个分量（x、y 和 z）的有序三元组 (x, y, z）。

点积

向量之间的点积，也称为内积或数量积，是向量运算中的一种重要操作。给定两个 n 维向量 A 和 B，它们的点积（记作 A·B 或 <A, B>）定义为：

A·B = A₁ * B₁ + A₂ * B₂ + … + Aₙ * Bₙ

其中 A₁、A₂、…、Aₙ 和 B₁、B₂、…、Bₙ 分别表示向量 A 和 B 的各个分量。

点积的结果是一个标量（即一个实数），而不是一个向量。点积的计算方法是将两个向量对应分量相乘，然后将这些乘积相加得到一个标量。

点积有一些重要的性质：

1. 交换律： A·B = B·A
2. 分配律： A·(B + C) = A·B + A·C
3. 结合律： k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中 k 是一个标量（实数）
4. 计算夹角： 如果 A 和 B 是非零向量，它们的夹角 θ 可以通过以下公式计算：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的模（长度）。

相关性质及推导

1. 交换律：A·B = B·A

从几何角度来看，点积 A·B 表示向量 A 在向量 B 方向上的投影与向量 B 的长度的乘积（即BAcosθ）。而点积 B·A 表示向量 B 在向量 A 方向上的投影与向量 A 的长度的乘积（即ABcosθ）。由于投影的长度与投影方向无关，所以 A·B 和 B·A 的结果相同。

2. 结合律 k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中 k 是一个标量（实数）
   我们假设有两个二维向量 A 和 B，以及标量 k。它们的分量分别为 A₁、A₂ 和 B₁、B₂。

   首先，我们来看 k(A·B) 的计算过程，它表示向量 A 在向量 B 方向上的投影与向量 B 的长度的乘积再乘以标量 k。

   1. 计算向量 B 的长度：
      |B| = √(B₁² + B₂²)

   2. 计算向量 A 在向量 B 方向上的投影：
      A 在向量 B 方向上的投影 = |A| * cos(θ₁)

      其中 θ₁ 表示向量 A 与向量 B 之间的夹角，可以通过点积的计算得到：

      cos(θ₁) = (A·B) / (|A| * |B|)

      代入 A 在向量 B 方向上的投影的计算式：

   A 在向量 B 方向上的投影 = |A| * ((A·B) / (|A| * |B|))

   1. 现在，我们将 A 在向量 B 方向上的投影乘以标量 k：
      k(A 在向量 B 方向上的投影) = k * (|A| * ((A·B) / (|A| * |B|))) = (kA)·B

      这里我们引入了向量 kA，它是向量 A 的每个分量都乘以标量 k 后得到的向量。

   2. 接下来，我们来计算 (kA)·B，这表示向量 kA 在向量 B 方向上的投影。
      (kA) 在向量 B 方向上的投影 = |kA| * cos(θ₂)

      其中 θ₂ 表示向量 kA 与向量 B 之间的夹角，可以通过点积的计算得到：

   cos(θ₂) = ((kA)·B) / (|kA| * |B|)

   因为 |kA| = |k| * |A|，所以：

   ((kA)·B) / (|kA| * |B|) = ((kA)·B) / (|k| * |A| * |B|)

   代入 (kA) 在向量 B 方向上的投影的计算式：

   (kA) 在向量 B 方向上的投影 = |kA| * ((kA)·B) / (|k| * |A| * |B|) = |k| * |A| * ((kA)·B) / (|k| * |A| * |B|) = k * (A·B)

   1. 最后，我们将向量 kA 在向量 B 方向上的投影与向量 B 的长度相乘，得到 (kA)·B 的结果：
      (kA)·B = |kA| * ((kA)·B) / (|k| * |A| * |B|) = k * (A·B)

   综上所述，我们得到 k(A·B) = (kA)·B，其中向量 kA 是向量 A 的每个分量都乘以标量 k 后得到的向量。同时，我们也得到 k(A·B) = A·(kB)，其中向量 kB 是向量 B 的每个分量都乘以标量 k 后得到的向量。这就是点积的结合律的几何推导过程。

叉积

与点积不同，叉积的结果是一个新的向量，而不是一个标量。叉积通常在三维空间中定义，用来计算两个向量之间垂直于它们所在平面的向量。

给定两个三维向量 A = (A₁, A₂, A₃) 和 B = (B₁, B₂, B₃)，它们的叉积为C（记作 A × B）定义为：

C₁ = A₂ * B₃ - A₃ * B₂ ``C₂ = A₃ * B₁ - A₁ * B₃ ``C₃ = A₁ * B₂ - A₂ * B₁

其中 A₁、A₂、A₃ 和 B₁、B₂、B₃ 分别表示向量 A 和 B 的三个分量。

**叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量所在的平面，并且方向满足右手法则。**右手法则用来确定结果向量的方向：将右手的食指指向向量 A 的方向，将中指指向向量 B 的方向，然后拇指的方向就是结果向量的方向。

叉积有一些重要的性质：

1. 反交换律： A × B = - (B × A)，即叉积不满足交换律，其结果方向与顺序有关。
2. 分配律： A × (B + C) = A × B + A × C，即叉积满足分配律，可以在展开后分别计算再相加。
3. 结合律： 叉积没有结合律，即 (A × B) × C 不等于 A × (B × C)。
4. 共线性： 如果两个向量 A 和 B 共线（即平行或反向），则它们的叉积结果为零向量。

应用

1. 将一个向量 V 分解为与另一个向量 U 垂直和水平的分量
   通常采用向量投影的方法。首先，来计算 V 在 U 方向上的投影，即 V 在 U 方向上的垂直分量。然后，我们可以通过减去这个投影向量，得到 V 在 U 方向上的水平分量。

   步骤如下：

   1. 如果 U 不是单位向量，计算 U 的单位向量 U’，即将 U 除以它的模（长度），得到长度为 1 的向量 U’（ U’ = U / |U| ）。
   2. 计算 V 在 U 方向上的投影 P，即 V 在 U’ 方向上的投影。投影 P = V·U’。
   3. 计算垂直分量 Vv，即 V 在 U 方向上的垂直分量：Vv = P * U’。
   4. 计算水平分量 Vh，即 V 减去垂直分量的结果：Vh = V - Vv。

2. 确定NPC与玩家的相对位置

   1. 游戏中的npc站在P位置，方向为V，玩家在X，确定NPC在X的前面还是后面

      1. 首先，计算玩家到NPC的向量 D，即 D = P - X。这个向量表示从玩家位置指向NPC位置的方向。
      2. 计算向量 D 和朝向向量 V 的夹角 θ。夹角可以通过计算向量的点积来得到，点积公式如下：
         D · V = |D| * |V| * cos(θ)
         其中，· 表示向量的点积，|D| 表示向量 D 的模（长度），|V| 表示向量 V 的模，θ 是向量 D 和 V 的夹角。
      3. 通过上面的公式可以解出 cos(θ)：cos(θ) = (D · V) / (|D| * |V|)
      4. 如果 cos(θ) 大于 0，则表示夹角 θ 处于 0 到 90 度之间，NPC在玩家的前面。如果 cos(θ) 小于 0，则表示夹角 θ 处于 90 到 180 度之间，NPC在玩家的后面，如果等于0，说明玩家在npc的正左边或者右边。

   2. 设p=[-3 4]且v=[5 -2]。对于以下每个点x是在NPC的前面还是后面。
      (1) x=[0 0]
      (2) x=[1 6]

      1. x = [0, 0]
         向量 $\mathbf{D} = \mathbf{p} - \mathbf{x} = [-3, 4] - [0, 0] = [-3, 4]$

         $cos(\theta) = \frac{\mathbf{D} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{D}| |\mathbf{v}|} = \frac{(-3\cdot5 + 4\cdot(-2))}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2} \sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{(-15 - 8)}{\sqrt{9 + 16} \sqrt{25 + 4}} = \frac{-23}{5 \sqrt{5}} < 0$

      2. x = [1, 6]
         向量$\mathbf{D} = \mathbf{p} - \mathbf{x} = [-3, 4] - [1, 6] = [-4, -2]$

         $\cos(\theta) = \frac{\mathbf{D} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{D}| |\mathbf{v}|} = \frac{(-4\cdot5 + (-2)\cdot(-2))}{\sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} \sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{(-20 + 4)}{\sqrt{16 + 4} \sqrt{25 + 4}} = \frac{-16}{2 \sqrt{29}} < 0$

3. 在题2的条件下，考虑NPC的视场(Field of View,FOV)受限的情况。如果总FOV角是θ,则NPC可以在其向前方向的左侧或右侧能看到的最大角度是θ/2。如何使用点积来确定点x是否对NPC可见?

考虑NPC的视场（Field of View, FOV）受限的情况下，我们可以使用点积来确定一个点 x 是否对NPC可见。具体方法如下：

• 计算向量 D，即从NPC位置指向点 x 的向量。即 $D = \mathbf{x} - \mathbf{p}$，其中 p 是NPC的位置。

• 计算向量 D 和NPC的朝向向量 V 之间的夹角 θ。使用点积公式计算夹角：$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{D} \cdot \mathbf{V}}{|\mathbf{D}| |\mathbf{V}|}$

• 如果$\cos(\theta) \geq \cos(\frac{\text{FOV}}{2})$，则表示点 x 对NPC可见。否则，点 x 不在NPC的视场范围内，对NPC不可见。

  总结：

• 点 x 在NPC的FOV范围内，即$\cos(\theta) \geq \cos(\frac{\text{FOV}}{2})$。

• 点 x 与NPC的距离小于等于最大观察距离。

  如果以上两个条件同时满足，那么点 x 对NPC可见。否则，点 x 不在NPC的视野范围内或距离过远，对NPC不可见。

4. 考虑在我们的左手坐标系的xz平面中标记为a、b和c的3个点,它们代表NPC路径上的航点(Waypoint)。

   1. 当从上方观察路径时,如何使用叉积来确定,NPC从a移动到b再移动到c时,应该顺时针还是逆时针转向b?
      使用叉积判断转向为顺时针还是逆时针：

      1. 首先，计算向量 AB 和向量 BC。向量 AB 表示从点 a 指向点 b 的向量，向量 BC 表示从点 b 指向点 c 的向量。

         $\mathbf{AB} \times \mathbf{BC} = (AB_x \cdot BC_z - AB_z \cdot BC_x)$ $\mathbf{AB} \times \mathbf{BC}$

      2. 如果 **

         $\mathbf{AB} \times \mathbf{BC}$

      3. 这样，通过计算向量的叉积，我们可以确定NPC在从 a 移动到 b 再移动到 c 的路径上应该选择顺时针还是逆时针转向 b。

   2. 对于以下3组中的每一组,确定当NPC从a移动到b再移动到e时,它应该顺时针还是逆时针转向。

   • $\mathbf{a} = [2, 0, 3]，\mathbf{b} = [-1, 0, 5]，\mathbf{e} = [-4, 0, 1]$ $\mathbf{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = [-1, 0, 5] - [2, 0, 3] = [-3, 0, 2]$ $\mathbf{BE} = \mathbf{e} - \mathbf{b} = [-4, 0, 1] - [-1, 0, 5] = [-3, 0, -4]$ $\mathbf{AB} \times \mathbf{BE} = (AB_x \times BE_z - AB_z \times BE_x) = (-3 \times -4 - 2 \times -3) = -6$ 由于 $\mathbf{AB} \times \mathbf{BE}$ 的结果为负值 (-6)，NPC在从 a 移动到 b 再移动到 e 时应该选择顺时针转向。
   • $\mathbf{a} = [-3, 0, -5]，\mathbf{b} = [4, 0, 0]，\mathbf{e} = [3, 0, 3]$ $\mathbf{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = [4, 0, 0] - [-3, 0, -5] = [7, 0, 5]$ $\mathbf{BE} = \mathbf{e} - \mathbf{b} = [3, 0, 3] - [4, 0, 0] = [-1, 0, 3]$ $\mathbf{AB} \times \mathbf{BE} = (AB_x \times BE_z - AB_z \times BE_x) = (7 \times 3 - 5 \times -1) = 26$ 由于 $\mathbf{AB} \times \mathbf{BE}$ 的结果为正值 (26)，NPC在从 a 移动到 b 再移动到 e 时应该选择逆时针转向。
   • $\mathbf{a} = [1, 0, 4]，\mathbf{b} = [7, 0, -1]，\mathbf{e} = [-5, 0, -6]$ $\mathbf{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = [7, 0, -1] - [1, 0, 4] = [6, 0, -5]$ $\mathbf{BE} = \mathbf{e} - \mathbf{b} = [-5, 0, -6] - [7, 0, -1] = [-12, 0, -5]$ $\mathbf{AB} \times \mathbf{BE} = (AB_x \times BE_z - AB_z \times BE_x) = (6 \times -5 - (-5) \times -12) = 30$ 由于 $\mathbf{AB} \times \mathbf{BE}$ 的结果为正值 (30)，NPC在从 a 移动到 b 再移动到 e 时应该选择逆时针转向。